Ratkaise 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 3 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-3±1}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x+\frac{1}{2} ja x+1 on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{2} ja x+1 ovat molemmat negatiivisia.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-1.

$$x<-1$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{2} ja x+1 ovat molemmat positiivisia.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$