Ratkaise 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-24. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 13.

$$a=-3 b=16$$

Kirjoita \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+13x-24.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 8.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-3=0 ja x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 13 ja c luvulla -24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Lisää 169 lukuun 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±19}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{6}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±19}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Jaa -32 luvulla 4.

$$x=-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Jaa \frac{13}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{13}{4}. Lisää sitten \frac{13}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{13}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Lisää 12 lukuun \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Vähennä \frac{13}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$