Ratkaise 2x^2+1/2=x

$$2 { x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 2 } =x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{4}\approx 0,25+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{4}\approx 0,25-0,433012702i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+\frac{1}{2}-x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-x+\frac{1}{2}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -1 ja c luvulla \frac{1}{2} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times \frac{1}{2}}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times \frac{1}{2}}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\times 2}$$

Ota luvun -3 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{3}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{3}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{3} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+\frac{1}{2}-x=0$$

Vähennä \frac{1}{2} molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$2x^{2}-x=-\frac{1}{2}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=-\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Jaa -\frac{1}{2} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{4}$$