Ratkaise 2sqrt{9x}-6=10-2sqrt{x}

$$2 \sqrt { 9 x } - 6 = 10 - 2 \sqrt { x }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä -6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(2\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Lavenna \left(2\sqrt{9x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$4\left(\sqrt{9x}\right)^{2}=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Laske \sqrt{9x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9x.

$$4\times 9x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Kerro 4 ja 9, niin saadaan 36.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(10-2\sqrt{x}+6\right)^{2} laajentamiseen.

$$36x=\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}+12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Vähennä \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2} molemmilta puolilta.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}=12\left(10-2\sqrt{x}\right)+36$$

Vähennä 12\left(10-2\sqrt{x}\right) molemmilta puolilta.

$$36x-\left(10-2\sqrt{x}\right)^{2}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(10-2\sqrt{x}\right)^{2} laajentamiseen.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$36x-\left(100-40\sqrt{x}+4x\right)-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 100-40\sqrt{x}+4x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$36x-100+40\sqrt{x}-4x-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Selvitä 32x yhdistämällä 36x ja -4x.

$$32x-100+40\sqrt{x}-12\left(10-2\sqrt{x}\right)=36$$

Laske lukujen -12 ja 10-2\sqrt{x} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$32x-100+40\sqrt{x}-120+24\sqrt{x}=36$$

Vähennä 120 luvusta -100 saadaksesi tuloksen -220.

$$32x-220+40\sqrt{x}+24\sqrt{x}=36$$

Selvitä 64\sqrt{x} yhdistämällä 40\sqrt{x} ja 24\sqrt{x}.

$$32x-220+64\sqrt{x}=36$$

Lisää 220 molemmille puolille.

$$32x+64\sqrt{x}=36+220$$

Selvitä 256 laskemalla yhteen 36 ja 220.

$$32x+64\sqrt{x}=256$$

Vähennä 32x yhtälön molemmilta puolilta.

$$64\sqrt{x}=256-32x$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(64\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Lavenna \left(64\sqrt{x}\right)^{2}.

$$64^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Laske 64 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4096.

$$4096\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$4096x=\left(-32x+256\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(-32x+256\right)^{2} laajentamiseen.

$$4096x=1024x^{2}-16384x+65536$$

Vähennä 1024x^{2} molemmilta puolilta.

$$4096x-1024x^{2}=-16384x+65536$$

Lisää 16384x molemmille puolille.

$$4096x-1024x^{2}+16384x=65536$$

Selvitä 20480x yhdistämällä 4096x ja 16384x.

$$20480x-1024x^{2}=65536$$

Vähennä 65536 molemmilta puolilta.

$$20480x-1024x^{2}-65536=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-1024x^{2}+20480x-65536=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1024, b luvulla 20480 ja c luvulla -65536 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{20480^{2}-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Korota 20480 neliöön.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-4\left(-1024\right)\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Kerro -4 ja -1024.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400+4096\left(-65536\right)}}{2\left(-1024\right)}$$

Kerro 4096 ja -65536.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{419430400-268435456}}{2\left(-1024\right)}$$

Lisää 419430400 lukuun -268435456.

$$x=\frac{-20480±\sqrt{150994944}}{2\left(-1024\right)}$$

Ota luvun 150994944 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20480±12288}{2\left(-1024\right)}$$

Kerro 2 ja -1024.

$$x=\frac{-20480±12288}{-2048}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20480±12288}{-2048}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20480 lukuun 12288.

$$x=-\frac{8192}{-2048}$$

Jaa -8192 luvulla -2048.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20480±12288}{-2048}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12288 luvusta -20480.

$$x=-\frac{32768}{-2048}$$

Jaa -32768 luvulla -2048.

$$x=16$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=16$$

Korvaa x arvolla 4 yhtälössä 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Sievennä. Arvo x=4 täyttää yhtälön.

$$6=6$$

Korvaa x arvolla 16 yhtälössä 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 16}-6=10-2\sqrt{16}$$

Sievennä. Arvo x=16 ei täytä yhtälöä.

$$18=2$$

Korvaa x arvolla 4 yhtälössä 2\sqrt{9x}-6=10-2\sqrt{x}.

$$2\sqrt{9\times 4}-6=10-2\sqrt{4}$$

Sievennä. Arvo x=4 täyttää yhtälön.

$$6=6$$

Yhtälöön2\sqrt{9x}=10-2\sqrt{x}+6 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=4$$