Ratkaise 2left(x-3xleft(5-2xright)right)=10left(-x+9right)

$$2 \left( x-3x \left( 5-2x \right) \right) = 10 \left( -x+9 \right)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{129} + 3}{4} \approx 3,589454173$$

$$x=\frac{3-\sqrt{129}}{4}\approx -2,089454173$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 10 ja -x+9 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)=10\left(-x\right)+90$$

Vähennä 10\left(-x\right) molemmilta puolilta.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)-10\left(-x\right)=90$$

Vähennä 90 molemmilta puolilta.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)-10\left(-x\right)-90=0$$

Kerro -1 ja 3, niin saadaan -3.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)-10\left(-1\right)x-90=0$$

Laske lukujen -3x ja 5-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2\left(x-15x+6x^{2}\right)-10\left(-1\right)x-90=0$$

Selvitä -14x yhdistämällä x ja -15x.

$$2\left(-14x+6x^{2}\right)-10\left(-1\right)x-90=0$$

Laske lukujen 2 ja -14x+6x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-28x+12x^{2}-10\left(-1\right)x-90=0$$

Kerro -10 ja -1, niin saadaan 10.

$$-28x+12x^{2}+10x-90=0$$

Selvitä -18x yhdistämällä -28x ja 10x.

$$-18x+12x^{2}-90=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}-18x-90=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -18 ja c luvulla -90 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 12\left(-90\right)}}{2\times 12}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 12\left(-90\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-48\left(-90\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -90.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+4320}}{2\times 12}$$

Lisää 324 lukuun 4320.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{4644}}{2\times 12}$$

Ota luvun 4644 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±6\sqrt{129}}{2\times 12}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±6\sqrt{129}}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{18±6\sqrt{129}}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±6\sqrt{129}}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 6\sqrt{129}.

$$x=\frac{6\sqrt{129}+18}{24}$$

Jaa 18+6\sqrt{129} luvulla 24.

$$x=\frac{\sqrt{129}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±6\sqrt{129}}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{129} luvusta 18.

$$x=\frac{18-6\sqrt{129}}{24}$$

Jaa 18-6\sqrt{129} luvulla 24.

$$x=\frac{3-\sqrt{129}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{129}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{129}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 10 ja -x+9 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)=10\left(-x\right)+90$$

Vähennä 10\left(-x\right) molemmilta puolilta.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)-10\left(-x\right)=90$$

Kerro -1 ja 3, niin saadaan -3.

$$2\left(x-3x\left(5-2x\right)\right)-10\left(-1\right)x=90$$

Laske lukujen -3x ja 5-2x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2\left(x-15x+6x^{2}\right)-10\left(-1\right)x=90$$

Selvitä -14x yhdistämällä x ja -15x.

$$2\left(-14x+6x^{2}\right)-10\left(-1\right)x=90$$

Laske lukujen 2 ja -14x+6x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-28x+12x^{2}-10\left(-1\right)x=90$$

Kerro -10 ja -1, niin saadaan 10.

$$-28x+12x^{2}+10x=90$$

Selvitä -18x yhdistämällä -28x ja 10x.

$$-18x+12x^{2}=90$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-18x=90$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}-18x}{12}=\frac{90}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{12}\right)x=\frac{90}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{12} luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{90}{12}$$

Supista murtoluku \frac{90}{12} luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{15}{2}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{15}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{15}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{129}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{129}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{129}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{129}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{129}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{129}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{129}}{4}$$