Ratkaise 2*(3x+4)-2*(5x+2)=3:(2x+2)+4*(4x+10)

$$2 \cdot ( 3 x + 4 ) - 2 \cdot ( 5 x + 2 ) = 3 : ( 2 x + 2 ) + 4 \cdot ( 4 x + 10 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,108452405$$

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,691547595$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 4 ja 3x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 12x+16 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro -2 ja 2, niin saadaan -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen -4 ja 5x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen -20x-8 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja -20x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä 28x ja -28x.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Vähennä 8 luvusta 16 saadaksesi tuloksen 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro 4 ja 2, niin saadaan 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 8 ja 4x+10 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 32x+80 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Selvitä 83 laskemalla yhteen 3 ja 80.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Vähennä 83 molemmilta puolilta.

$$-8x^{2}+8-83=32x^{2}+112x$$

Vähennä 83 luvusta 8 saadaksesi tuloksen -75.

$$-8x^{2}-75=32x^{2}+112x$$

Vähennä 32x^{2} molemmilta puolilta.

$$-8x^{2}-75-32x^{2}=112x$$

Selvitä -40x^{2} yhdistämällä -8x^{2} ja -32x^{2}.

$$-40x^{2}-75=112x$$

Vähennä 112x molemmilta puolilta.

$$-40x^{2}-75-112x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-40x^{2}-112x-75=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -40, b luvulla -112 ja c luvulla -75 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{\left(-112\right)^{2}-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Korota -112 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro -4 ja -40.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544+160\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro 160 ja -75.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-12000}}{2\left(-40\right)}$$

Lisää 12544 lukuun -12000.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{544}}{2\left(-40\right)}$$

Ota luvun 544 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Luvun -112 vastaluku on 112.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro 2 ja -40.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 112 lukuun 4\sqrt{34}.

$$x=\frac{4\sqrt{34}+112}{-80}$$

Jaa 112+4\sqrt{34} luvulla -80.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{34} luvusta 112.

$$x=\frac{112-4\sqrt{34}}{-80}$$

Jaa 112-4\sqrt{34} luvulla -80.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 4 ja 3x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 12x+16 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro -2 ja 2, niin saadaan -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen -4 ja 5x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Laske lukujen -20x-8 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Selvitä -8x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja -20x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä 28x ja -28x.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Vähennä 8 luvusta 16 saadaksesi tuloksen 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kerro 4 ja 2, niin saadaan 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 8 ja 4x+10 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 32x+80 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Selvitä 83 laskemalla yhteen 3 ja 80.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Vähennä 32x^{2} molemmilta puolilta.

$$-8x^{2}+8-32x^{2}=83+112x$$

Selvitä -40x^{2} yhdistämällä -8x^{2} ja -32x^{2}.

$$-40x^{2}+8=83+112x$$

Vähennä 112x molemmilta puolilta.

$$-40x^{2}+8-112x=83$$

Vähennä 8 molemmilta puolilta.

$$-40x^{2}-112x=83-8$$

Vähennä 8 luvusta 83 saadaksesi tuloksen 75.

$$-40x^{2}-112x=75$$

Jaa molemmat puolet luvulla -40.

$$\frac{-40x^{2}-112x}{-40}=\frac{75}{-40}$$

Jakaminen luvulla -40 kumoaa kertomisen luvulla -40.

$$x^{2}+\left(-\frac{112}{-40}\right)x=\frac{75}{-40}$$

Supista murtoluku \frac{-112}{-40} luvulla 8.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=\frac{75}{-40}$$

Supista murtoluku \frac{75}{-40} luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{15}{8}$$

Jaa \frac{14}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{5}. Lisää sitten \frac{7}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{15}{8}+\frac{49}{25}$$

Lisää -\frac{15}{8} lukuun \frac{49}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{17}{200}$$

Jaa x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{17}{200}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{200}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{20} x+\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{20}$$

Vähennä \frac{7}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$