Ratkaise 2=-1/4x^2+5/2x

$$2 = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{17}+5\approx 9,123105626$$

$$x=5-\sqrt{17}\approx 0,876894374$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{5}{2}x=2$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{5}{2}x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{4}, b luvulla \frac{5}{2} ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-2\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\sqrt{\frac{25}{4}-4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-2\right)}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\sqrt{\frac{25}{4}-2}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Lisää \frac{25}{4} lukuun -2.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\sqrt{\frac{17}{4}}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Ota luvun \frac{17}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{17}}{2}}{2\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{\sqrt{17}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{-\frac{1}{2}\times 2}$$

Jaa \frac{-5+\sqrt{17}}{2} luvulla -\frac{1}{2} kertomalla \frac{-5+\sqrt{17}}{2} luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=5-\sqrt{17}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{5}{2}±\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{17}}{2} luvusta -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-5}{-\frac{1}{2}\times 2}$$

Jaa \frac{-5-\sqrt{17}}{2} luvulla -\frac{1}{2} kertomalla \frac{-5-\sqrt{17}}{2} luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x=\sqrt{17}+5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5-\sqrt{17} x=\sqrt{17}+5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{5}{2}x=2$$

Kerro molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{5}{2}x}{-\frac{1}{4}}=\frac{2}{-\frac{1}{4}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{4} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{1}{4}}x=\frac{2}{-\frac{1}{4}}$$

Jaa \frac{5}{2} luvulla -\frac{1}{4} kertomalla \frac{5}{2} luvun -\frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-10x=\frac{2}{-\frac{1}{4}}$$

Jaa 2 luvulla -\frac{1}{4} kertomalla 2 luvun -\frac{1}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-10x=-8$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-8+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=-8+25$$

Lisää -8 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=17$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=17$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{17}$$

Sievennä.

$$x-5=\sqrt{17} x-5=-\sqrt{17}$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{17}+5 x=5-\sqrt{17}$$