Ratkaise 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen y ja 1-3y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Laske lukujen y ja y-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Vähennä y^{2} molemmilta puolilta.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Selvitä -4y^{2} yhdistämällä -3y^{2} ja -y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Lisää 3y molemmille puolille.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Selvitä 4y yhdistämällä y ja 3y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 4 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 16 lukuun 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 48 neliöjuuri.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Jaa -4+4\sqrt{3} luvulla -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{3} luvusta -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Jaa -4-4\sqrt{3} luvulla -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen y ja 1-3y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Laske lukujen y ja y-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Vähennä y^{2} molemmilta puolilta.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Selvitä -4y^{2} yhdistämällä -3y^{2} ja -y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Lisää 3y molemmille puolille.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Selvitä 4y yhdistämällä y ja 3y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Jaa 4 luvulla -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{-4} luvulla 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Jaa y^{2}-y+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$