Ratkaise 19-x^2-4x-1=0

$$19 - x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{22}-2\approx 2,69041576$$

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)\approx -6,69041576$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -4 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 88 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{-2}$$

Jaa 4+2\sqrt{22} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{22} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{-2}$$

Jaa 4-2\sqrt{22} luvulla -2.

$$x=\sqrt{22}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right) x=\sqrt{22}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-4x+18-18=-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-4x=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{18}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{18}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{18}{-1}$$

Jaa -18 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=18$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=18+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=18+4$$

Lisää 18 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=22$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=22$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{22}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{22} x+2=-\sqrt{22}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{22}-2 x=-\sqrt{22}-2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{22}-2\approx 2,69041576$$

$$x=-\sqrt{22}-2\approx -6,69041576$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 1 luvusta 19 saadaksesi tuloksen 18.

$$18-x^{2}-4x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-4x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -4 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 18}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 88 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{-2}$$

Jaa 4+2\sqrt{22} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{22}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{22} luvusta 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{-2}$$

Jaa 4-2\sqrt{22} luvulla -2.

$$x=\sqrt{22}-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{22}+2\right) x=\sqrt{22}-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 1 luvusta 19 saadaksesi tuloksen 18.

$$18-x^{2}-4x=0$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-x^{2}-4x=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{18}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{18}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{18}{-1}$$

Jaa -18 luvulla -1.

$$x^{2}+4x=18$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+4x+2^{2}=18+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$x^{2}+4x+4=18+4$$

Lisää 18 lukuun 4.

$$x^{2}+4x+4=22$$

Jaa x^{2}+4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=22$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{22}$$

Sievennä.

$$x+2=\sqrt{22} x+2=-\sqrt{22}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{22}-2 x=-\sqrt{22}-2$$