Ratkaise 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 18x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -9.

$$a=-15 b=6$$

Kirjoita \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) uudelleen muodossa 18x^{2}-9x-5.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Ota 3x tekijäksi lausekkeessa 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 6x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 6x-5=0 ja 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 18, b luvulla -9 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kerro -4 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kerro -72 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Lisää 81 lukuun 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Kerro 2 ja 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±21}{36}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Supista murtoluku \frac{30}{36} luvulla 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±21}{36}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{36} luvulla 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Jakaminen luvulla 18 kumoaa kertomisen luvulla 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-9}{18} luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{5}{18} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$