Ratkaise 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 18x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -27.

$$a=-24 b=-3$$

Kirjoita \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right) uudelleen muodossa 18x^{2}-27x+4.

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Jaa 6x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-4=0 ja 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 18, b luvulla -27 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Korota -27 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Kerro -4 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Kerro -72 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Lisää 729 lukuun -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Luvun -27 vastaluku on 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Kerro 2 ja 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{27±21}{36}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 27 lukuun 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Supista murtoluku \frac{48}{36} luvulla 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{27±21}{36}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Supista murtoluku \frac{6}{36} luvulla 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Jakaminen luvulla 18 kumoaa kertomisen luvulla 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-27}{18} luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{18} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{2}{9} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$