Ratkaise 18=-1/5x^2+12x+32

$$18 = - \frac { 1 } { 5 } x ^ { 2 } + 12 x + 32$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{970}+30\approx 61,144823005$$

$$x=30-\sqrt{970}\approx -1,144823005$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x+32=18$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x+32-18=0$$

Vähennä 18 luvusta 32 saadaksesi tuloksen 14.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{5}, b luvulla 12 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times 14}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times 14}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+\frac{4}{5}\times 14}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro \frac{4}{5} ja 14.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+\frac{56}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Lisää 144 lukuun \frac{56}{5}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{\frac{776}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Ota luvun \frac{776}{5} neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±\frac{2\sqrt{970}}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-12±\frac{2\sqrt{970}}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±\frac{2\sqrt{970}}{5}}{-\frac{2}{5}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun \frac{2\sqrt{970}}{5}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{970}}{5}-12}{-\frac{2}{5}}$$

Jaa -12+\frac{2\sqrt{970}}{5} luvulla -\frac{2}{5} kertomalla -12+\frac{2\sqrt{970}}{5} luvun -\frac{2}{5} käänteisluvulla.

$$x=30-\sqrt{970}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±\frac{2\sqrt{970}}{5}}{-\frac{2}{5}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{2\sqrt{970}}{5} luvusta -12.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{970}}{5}-12}{-\frac{2}{5}}$$

Jaa -12-\frac{2\sqrt{970}}{5} luvulla -\frac{2}{5} kertomalla -12-\frac{2\sqrt{970}}{5} luvun -\frac{2}{5} käänteisluvulla.

$$x=\sqrt{970}+30$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=30-\sqrt{970} x=\sqrt{970}+30$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x+32=18$$

Vähennä 32 molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x=18-32$$

Vähennä 32 luvusta 18 saadaksesi tuloksen -14.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+12x=-14$$

Kerro molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+12x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{14}{-\frac{1}{5}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{5} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{12}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{14}{-\frac{1}{5}}$$

Jaa 12 luvulla -\frac{1}{5} kertomalla 12 luvun -\frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x^{2}-60x=-\frac{14}{-\frac{1}{5}}$$

Jaa -14 luvulla -\frac{1}{5} kertomalla -14 luvun -\frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x^{2}-60x=70$$

Jaa -60 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -30. Lisää sitten -30:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-60x+\left(-30\right)^{2}=70+\left(-30\right)^{2}$$

Korota -30 neliöön.

$$x^{2}-60x+900=70+900$$

Lisää 70 lukuun 900.

$$x^{2}-60x+900=970$$

Jaa x^{2}-60x+900 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-30\right)^{2}=970$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-30\right)^{2}}=\sqrt{970}$$

Sievennä.

$$x-30=\sqrt{970} x-30=-\sqrt{970}$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{970}+30 x=30-\sqrt{970}$$