Ratkaise 17x^2-32x+15=0

$$17 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=\frac{15}{17}\approx 0,882352941$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 17x^{2}+ax+bx+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-32 ab=17\times 15=255$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 255.

$$-1,-255 -3,-85 -5,-51 -15,-17$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-255=-256 -3-85=-88 -5-51=-56 -15-17=-32$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -32.

$$a=-17 b=-15$$

Kirjoita \left(17x^{2}-17x\right)+\left(-15x+15\right) uudelleen muodossa 17x^{2}-32x+15.

$$\left(17x^{2}-17x\right)+\left(-15x+15\right)$$

Jaa 17x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -15.

$$17x\left(x-1\right)-15\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(17x-15\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 17x-15=0.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$17x^{2}-32x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 17, b luvulla -32 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 17\times 15}}{2\times 17}$$

Korota -32 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 17\times 15}}{2\times 17}$$

Kerro -4 ja 17.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-68\times 15}}{2\times 17}$$

Kerro -68 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1020}}{2\times 17}$$

Lisää 1024 lukuun -1020.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{4}}{2\times 17}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±2}{2\times 17}$$

Luvun -32 vastaluku on 32.

$$x=\frac{32±2}{2\times 17}$$

Kerro 2 ja 17.

$$x=\frac{32±2}{34}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±2}{34}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 32 lukuun 2.

$$x=\frac{34}{34}$$

Jaa 34 luvulla 34.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±2}{34}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta 32.

$$x=\frac{30}{34}$$

Supista murtoluku \frac{30}{34} luvulla 2.

$$x=\frac{15}{17}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$17x^{2}-32x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$17x^{2}-32x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$17x^{2}-32x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 17.

$$\frac{17x^{2}-32x}{17}=-\frac{15}{17}$$

Jakaminen luvulla 17 kumoaa kertomisen luvulla 17.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x=-\frac{15}{17}$$

Jaa -\frac{32}{17} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{16}{17}. Lisää sitten -\frac{16}{17}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\left(-\frac{16}{17}\right)^{2}=-\frac{15}{17}+\left(-\frac{16}{17}\right)^{2}$$

Korota -\frac{16}{17} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289}=-\frac{15}{17}+\frac{256}{289}$$

Lisää -\frac{15}{17} lukuun \frac{256}{289} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289}=\frac{1}{289}$$

Jaa x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{17}\right)^{2}=\frac{1}{289}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{17}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{289}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{16}{17}=\frac{1}{17} x-\frac{16}{17}=-\frac{1}{17}$$

Lisää \frac{16}{17} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$