Ratkaise 17=12t-5t^2

$$17 = 12 t - 5 t ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{6}{5}+\frac{7}{5}i=1,2+1,4i$$

$$t=\frac{6}{5}-\frac{7}{5}i=1,2-1,4i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$12t-5t^{2}=17$$

Vähennä 17 molemmilta puolilta.

$$12t-5t^{2}-17=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5t^{2}+12t-17=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 12 ja c luvulla -17 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144+20\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -17.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144-340}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 144 lukuun -340.

$$t=\frac{-12±\sqrt{-196}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -196 neliöjuuri.

$$t=\frac{-12±14i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$t=\frac{-12±14i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-12±14i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 14i.

$$t=\frac{-12+14i}{-10}$$

Jaa -12+14i luvulla -10.

$$t=\frac{6}{5}-\frac{7}{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-12±14i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14i luvusta -12.

$$t=\frac{-12-14i}{-10}$$

Jaa -12-14i luvulla -10.

$$t=\frac{6}{5}+\frac{7}{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{6}{5}-\frac{7}{5}i t=\frac{6}{5}+\frac{7}{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$12t-5t^{2}=17$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+12t=17$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5t^{2}+12t}{-5}=\frac{17}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$t^{2}+\frac{12}{-5}t=\frac{17}{-5}$$

Jaa 12 luvulla -5.

$$t^{2}-\frac{12}{5}t=\frac{17}{-5}$$

Jaa 17 luvulla -5.

$$t^{2}-\frac{12}{5}t=-\frac{17}{5}$$

Jaa -\frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6}{5}. Lisää sitten -\frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{12}{5}t+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{17}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{12}{5}t+\frac{36}{25}=-\frac{17}{5}+\frac{36}{25}$$

Lisää -\frac{17}{5} lukuun \frac{36}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{12}{5}t+\frac{36}{25}=-\frac{49}{25}$$

Jaa t^{2}-\frac{12}{5}t+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{49}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{49}{25}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{6}{5}=\frac{7}{5}i t-\frac{6}{5}=-\frac{7}{5}i$$

Lisää \frac{6}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{6}{5}+\frac{7}{5}i t=\frac{6}{5}-\frac{7}{5}i$$