Ratkaise 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 32 laskemalla yhteen 16 ja 16.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 48 laskemalla yhteen 32 ja 16.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Lavenna \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Kerro 16 ja 5, niin saadaan 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Vähennä 80 molemmilta puolilta.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

Vähennä 80 luvusta 48 saadaksesi tuloksen -32.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -8 ja c luvulla -32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

Lisää 64 lukuun 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

Ota luvun 320 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

Jaa 8+8\sqrt{5} luvulla 4.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{5} luvusta 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

Jaa 8-8\sqrt{5} luvulla 4.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 32 laskemalla yhteen 16 ja 16.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Selvitä 48 laskemalla yhteen 32 ja 16.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Lavenna \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Kerro 16 ja 5, niin saadaan 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Vähennä 48 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

Vähennä 48 luvusta 80 saadaksesi tuloksen 32.

$$2x^{2}-8x=32$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

Jaa -8 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

Jaa 32 luvulla 2.

$$x^{2}-4x=16$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Lisää 16 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$