Ratkaise 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla -64 ja c luvulla 65 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Korota -64 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Lisää 4096 lukuun -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Ota luvun -64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Luvun -64 vastaluku on 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{64±8i}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 64 lukuun 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Jaa 64+8i luvulla 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{64±8i}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i luvusta 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Jaa 64-8i luvulla 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Vähennä 65 yhtälön molemmilta puolilta.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Kun luku 65 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Jaa -64 luvulla 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Lisää -\frac{65}{16} lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Sievennä.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$