Ratkaise 16x^2-24x-7<0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x - 7 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$16x^{2}-24x-7=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 16 tilalle a, muuttujan -24 tilalle b ja muuttujan -7 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-7\right)}}{2\times 16}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{24±32}{32}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{24±32}{32} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{7}{4} x=-\frac{1}{4}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$16\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\frac{7}{4} ja x+\frac{1}{4} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{7}{4} on positiivinen ja x+\frac{1}{4} on negatiivinen.

$$x-\frac{7}{4}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{1}{4} on positiivinen ja x-\frac{7}{4} on negatiivinen.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{7}{4}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$$