Ratkaise 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 16x^{2}+ax+bx-9. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 10.

$$a=-8 b=18$$

Kirjoita \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) uudelleen muodossa 16x^{2}+10x-9.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Jaa 8x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 9.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-1=0 ja 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla 10 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Lisää 100 lukuun 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Ota luvun 676 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±26}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Supista murtoluku \frac{16}{32} luvulla 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±26}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 26 luvusta -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Supista murtoluku \frac{-36}{32} luvulla 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Supista murtoluku \frac{10}{16} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Jaa \frac{5}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{16}. Lisää sitten \frac{5}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Lisää \frac{9}{16} lukuun \frac{25}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Vähennä \frac{5}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$