Ratkaise 16t^2-4t-5=0

$$16 t ^ { 2 } - 4 t - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{\sqrt{21}+1}{8}\approx 0,697821962$$

$$t=\frac{1-\sqrt{21}}{8}\approx -0,447821962$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$16t^{2}-4t-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla -4 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Korota -4 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja -5.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+320}}{2\times 16}$$

Lisää 16 lukuun 320.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{336}}{2\times 16}$$

Ota luvun 336 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{21}}{2\times 16}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$t=\frac{4±4\sqrt{21}}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$t=\frac{4±4\sqrt{21}}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{4±4\sqrt{21}}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4\sqrt{21}.

$$t=\frac{4\sqrt{21}+4}{32}$$

Jaa 4+4\sqrt{21} luvulla 32.

$$t=\frac{\sqrt{21}+1}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{4±4\sqrt{21}}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{21} luvusta 4.

$$t=\frac{4-4\sqrt{21}}{32}$$

Jaa 4-4\sqrt{21} luvulla 32.

$$t=\frac{1-\sqrt{21}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{21}+1}{8} t=\frac{1-\sqrt{21}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$16t^{2}-4t-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$16t^{2}-4t-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$16t^{2}-4t=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$16t^{2}-4t=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16t^{2}-4t}{16}=\frac{5}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$t^{2}+\left(-\frac{4}{16}\right)t=\frac{5}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{16} luvulla 4.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t=\frac{5}{16}$$

Jaa -\frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{8}. Lisää sitten -\frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=\frac{5}{16}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{5}{16} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=\frac{21}{64}$$

Jaa t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{64}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{21}}{8} t-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{21}}{8}$$

Lisää \frac{1}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{21}+1}{8} t=\frac{1-\sqrt{21}}{8}$$