Ratkaise 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla -525 ja c luvulla -4500 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Korota -525 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Lisää 275625 lukuun 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Ota luvun 545625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Luvun -525 vastaluku on 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 525 lukuun 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Jaa 525+75\sqrt{97} luvulla 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 75\sqrt{97} luvusta 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Jaa 525-75\sqrt{97} luvulla 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Lisää 4500 yhtälön kummallekin puolelle.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Kun luku -4500 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Vähennä -4500 luvusta 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Jaa -525 luvulla 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Jaa 4500 luvulla 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Jaa -35 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{35}{2}. Lisää sitten -\frac{35}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{35}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Lisää 300 lukuun \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Jaa x^{2}-35x+\frac{1225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Lisää \frac{35}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$