Ratkaise 15x^2-25x-60

$$15 x ^ { 2 } - 25 x - 60$$

Jaa tekijöihin

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 5:n suhteen.

$$5\left(3x^{2}-5x-12\right)$$

Tarkastele lauseketta 3x^{2}-5x-12. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 3x^{2}+ax+bx-12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-9 b=4$$

Kirjoita \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-5x-12.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$15x^{2}-25x-60=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Korota -25 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-60\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -60.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3600}}{2\times 15}$$

Lisää 625 lukuun 3600.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{4225}}{2\times 15}$$

Ota luvun 4225 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±65}{2\times 15}$$

Luvun -25 vastaluku on 25.

$$x=\frac{25±65}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{25±65}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±65}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 25 lukuun 65.

$$x=\frac{90}{30}$$

Jaa 90 luvulla 30.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±65}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 65 luvusta 25.

$$x=-\frac{40}{30}$$

Supista murtoluku \frac{-40}{30} luvulla 10.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 3 kohteella x_{1} ja -\frac{4}{3} kohteella x_{2}.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

Supista lausekkeiden 15 ja 3 suurin yhteinen tekijä 3.

$$15x^{2}-25x-60=5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Laske

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$