Ratkaise 15(x^2-1)>-16x

$$15 ( x ^ { 2 } - 1 ) > - 16 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{3}{5},\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 15 ja x^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$15x^{2}-15>-16x$$

Lisää 16x molemmille puolille.

$$15x^{2}-15+16x>0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$15x^{2}-15+16x=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 15 tilalle a, muuttujan 16 tilalle b ja muuttujan -15 tilalle c.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-16±34}{30} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-\frac{3}{5} ja x+\frac{5}{3} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{3}{5} ja x+\frac{5}{3} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-\frac{3}{5}<0 x+\frac{5}{3}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{3}{5} ja x+\frac{5}{3} ovat molemmat positiivisia.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-\frac{3}{5}>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>\frac{3}{5}.

$$x>\frac{3}{5}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>\frac{3}{5}$$