Ratkaise 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Jaa tekijöihin

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 15x^{2}+ax+bx-16. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -8.

$$a=-20 b=12$$

Kirjoita \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right) uudelleen muodossa 15x^{2}-8x-16.

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Lisää 64 lukuun 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Ota luvun 1024 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±32}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Supista murtoluku \frac{40}{30} luvulla 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±32}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 32 luvusta 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Supista murtoluku \frac{-24}{30} luvulla 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{4}{3} kohteella x_{1} ja -\frac{4}{5} kohteella x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Vähennä \frac{4}{3} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Lisää \frac{4}{5} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Kerro \frac{3x-4}{3} ja \frac{5x+4}{5} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Kerro 3 ja 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Supista lausekkeiden 15 ja 15 suurin yhteinen tekijä 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Laske

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$