Ratkaise 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 15x^{2}+ax+bx-4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 4.

$$a=-6 b=10$$

Kirjoita \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) uudelleen muodossa 15x^{2}+4x-4.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Jaa yleinen termi 5x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x-2=0 ja 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla 4 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Lisää 16 lukuun 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Supista murtoluku \frac{12}{30} luvulla 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{30} luvulla 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Jaa \frac{4}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{15}. Lisää sitten \frac{2}{15}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Lisää \frac{4}{15} lukuun \frac{4}{225} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Vähennä \frac{2}{15} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$