Ratkaise 14x^2+2x=3

$$14 x ^ { 2 } + 2 x = 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}\approx 0,396959895$$

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}\approx -0,539817037$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$14x^{2}+2x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$14x^{2}+2x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$14x^{2}+2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 14, b luvulla 2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Kerro -4 ja 14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Kerro -56 ja -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+168}}{2\times 14}$$

Lisää 4 lukuun 168.

$$x=\frac{-2±\sqrt{172}}{2\times 14}$$

Ota luvun 172 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{2\times 14}$$

Kerro 2 ja 14.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}-2}{28}$$

Jaa -2+2\sqrt{43} luvulla 28.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{43} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{43}-2}{28}$$

Jaa -2-2\sqrt{43} luvulla 28.

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 14.

$$\frac{14x^{2}+2x}{14}=\frac{3}{14}$$

Jakaminen luvulla 14 kumoaa kertomisen luvulla 14.

$$x^{2}+\frac{2}{14}x=\frac{3}{14}$$

Supista murtoluku \frac{2}{14} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=\frac{3}{14}$$

Jaa \frac{1}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{14}. Lisää sitten \frac{1}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{3}{14}+\frac{1}{196}$$

Lisää \frac{3}{14} lukuun \frac{1}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{43}{196}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{43}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{196}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{\sqrt{43}}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{\sqrt{43}}{14}$$

Vähennä \frac{1}{14} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$