Ratkaise 14-(5x-1)(2x+3)=17-(10x+19(x-6)

$$14 - ( 5 x - 1 ) ( 2 x + 3 ) = 17 - ( 10 x + 19 ( x - 6 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{269}i}{5}\approx 0,8+3,280243893i$$

$$x=\frac{-\sqrt{269}i+4}{5}\approx 0,8-3,280243893i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 5x-1 ja 2x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$14-\left(10x^{2}+13x-3\right)=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 10x^{2}+13x-3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$14-10x^{2}-13x+3=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Selvitä 17 laskemalla yhteen 14 ja 3.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Laske lukujen 19 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(10x+19x-114\right)$$

Selvitä 29x yhdistämällä 10x ja 19x.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(29x-114\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 29x-114 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$17-10x^{2}-13x=17-29x+114$$

Selvitä 131 laskemalla yhteen 17 ja 114.

$$17-10x^{2}-13x=131-29x$$

Vähennä 131 molemmilta puolilta.

$$17-10x^{2}-13x-131=-29x$$

Vähennä 131 luvusta 17 saadaksesi tuloksen -114.

$$-114-10x^{2}-13x=-29x$$

Lisää 29x molemmille puolille.

$$-114-10x^{2}-13x+29x=0$$

Selvitä 16x yhdistämällä -13x ja 29x.

$$-114-10x^{2}+16x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-10x^{2}+16x-114=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -10, b luvulla 16 ja c luvulla -114 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-10\right)\left(-114\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-10\right)\left(-114\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro -4 ja -10.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+40\left(-114\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 40 ja -114.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4560}}{2\left(-10\right)}$$

Lisää 256 lukuun -4560.

$$x=\frac{-16±\sqrt{-4304}}{2\left(-10\right)}$$

Ota luvun -4304 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{269}i}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 2 ja -10.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{269}i}{-20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±4\sqrt{269}i}{-20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 4i\sqrt{269}.

$$x=\frac{-16+4\sqrt{269}i}{-20}$$

Jaa -16+4i\sqrt{269} luvulla -20.

$$x=\frac{-\sqrt{269}i+4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±4\sqrt{269}i}{-20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{269} luvusta -16.

$$x=\frac{-4\sqrt{269}i-16}{-20}$$

Jaa -16-4i\sqrt{269} luvulla -20.

$$x=\frac{4+\sqrt{269}i}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{269}i+4}{5} x=\frac{4+\sqrt{269}i}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 5x-1 ja 2x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$14-\left(10x^{2}+13x-3\right)=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 10x^{2}+13x-3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$14-10x^{2}-13x+3=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Selvitä 17 laskemalla yhteen 14 ja 3.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(10x+19\left(x-6\right)\right)$$

Laske lukujen 19 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(10x+19x-114\right)$$

Selvitä 29x yhdistämällä 10x ja 19x.

$$17-10x^{2}-13x=17-\left(29x-114\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 29x-114 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$17-10x^{2}-13x=17-29x+114$$

Selvitä 131 laskemalla yhteen 17 ja 114.

$$17-10x^{2}-13x=131-29x$$

Lisää 29x molemmille puolille.

$$17-10x^{2}-13x+29x=131$$

Selvitä 16x yhdistämällä -13x ja 29x.

$$17-10x^{2}+16x=131$$

Vähennä 17 molemmilta puolilta.

$$-10x^{2}+16x=131-17$$

Vähennä 17 luvusta 131 saadaksesi tuloksen 114.

$$-10x^{2}+16x=114$$

Jaa molemmat puolet luvulla -10.

$$\frac{-10x^{2}+16x}{-10}=\frac{114}{-10}$$

Jakaminen luvulla -10 kumoaa kertomisen luvulla -10.

$$x^{2}+\frac{16}{-10}x=\frac{114}{-10}$$

Supista murtoluku \frac{16}{-10} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{114}{-10}$$

Supista murtoluku \frac{114}{-10} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{57}{5}$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{57}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{57}{5}+\frac{16}{25}$$

Lisää -\frac{57}{5} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{269}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{269}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{269}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{269}i}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{269}i}{5}$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4+\sqrt{269}i}{5} x=\frac{-\sqrt{269}i+4}{5}$$