Ratkaise 13158x^2-2756x+27360=0

$$13158 { x }^{ 2 } -2756x+27360=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{689+\sqrt{89525999}i}{6579}\approx 0,104727162+1,438184824i$$

$$x=\frac{-\sqrt{89525999}i+689}{6579}\approx 0,104727162-1,438184824i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$13158x^{2}-2756x+27360=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 13158, b luvulla -2756 ja c luvulla 27360 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±\sqrt{\left(-2756\right)^{2}-4\times 13158\times 27360}}{2\times 13158}$$

Korota -2756 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±\sqrt{7595536-4\times 13158\times 27360}}{2\times 13158}$$

Kerro -4 ja 13158.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±\sqrt{7595536-52632\times 27360}}{2\times 13158}$$

Kerro -52632 ja 27360.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±\sqrt{7595536-1440011520}}{2\times 13158}$$

Lisää 7595536 lukuun -1440011520.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±\sqrt{-1432415984}}{2\times 13158}$$

Ota luvun -1432415984 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2756\right)±4\sqrt{89525999}i}{2\times 13158}$$

Luvun -2756 vastaluku on 2756.

$$x=\frac{2756±4\sqrt{89525999}i}{2\times 13158}$$

Kerro 2 ja 13158.

$$x=\frac{2756±4\sqrt{89525999}i}{26316}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2756±4\sqrt{89525999}i}{26316}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2756 lukuun 4i\sqrt{89525999}.

$$x=\frac{2756+4\sqrt{89525999}i}{26316}$$

Jaa 2756+4i\sqrt{89525999} luvulla 26316.

$$x=\frac{689+\sqrt{89525999}i}{6579}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2756±4\sqrt{89525999}i}{26316}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{89525999} luvusta 2756.

$$x=\frac{-4\sqrt{89525999}i+2756}{26316}$$

Jaa 2756-4i\sqrt{89525999} luvulla 26316.

$$x=\frac{-\sqrt{89525999}i+689}{6579}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{689+\sqrt{89525999}i}{6579} x=\frac{-\sqrt{89525999}i+689}{6579}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$13158x^{2}-2756x+27360=0$$

Vähennä 27360 yhtälön molemmilta puolilta.

$$13158x^{2}-2756x+27360-27360=-27360$$

Kun luku 27360 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$13158x^{2}-2756x=-27360$$

Jaa molemmat puolet luvulla 13158.

$$\frac{13158x^{2}-2756x}{13158}=-\frac{27360}{13158}$$

Jakaminen luvulla 13158 kumoaa kertomisen luvulla 13158.

$$x^{2}+\left(-\frac{2756}{13158}\right)x=-\frac{27360}{13158}$$

Supista murtoluku \frac{-2756}{13158} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1378}{6579}x=-\frac{27360}{13158}$$

Supista murtoluku \frac{-27360}{13158} luvulla 18.

$$x^{2}-\frac{1378}{6579}x=-\frac{1520}{731}$$

Jaa -\frac{1378}{6579} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{689}{6579}. Lisää sitten -\frac{689}{6579}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1378}{6579}x+\left(-\frac{689}{6579}\right)^{2}=-\frac{1520}{731}+\left(-\frac{689}{6579}\right)^{2}$$

Korota -\frac{689}{6579} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1378}{6579}x+\frac{474721}{43283241}=-\frac{1520}{731}+\frac{474721}{43283241}$$

Lisää -\frac{1520}{731} lukuun \frac{474721}{43283241} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1378}{6579}x+\frac{474721}{43283241}=-\frac{89525999}{43283241}$$

Jaa x^{2}-\frac{1378}{6579}x+\frac{474721}{43283241} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{689}{6579}\right)^{2}=-\frac{89525999}{43283241}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{689}{6579}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{89525999}{43283241}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{689}{6579}=\frac{\sqrt{89525999}i}{6579} x-\frac{689}{6579}=-\frac{\sqrt{89525999}i}{6579}$$

Lisää \frac{689}{6579} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{689+\sqrt{89525999}i}{6579} x=\frac{-\sqrt{89525999}i+689}{6579}$$