Ratkaise 130x^2-540x+560=0

$$130 { x }^{ 2 } -540x+560 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x = \frac{28}{13} = 2\frac{2}{13} \approx 2,153846154$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$130x^{2}-540x+560=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 130, b luvulla -540 ja c luvulla 560 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±\sqrt{\left(-540\right)^{2}-4\times 130\times 560}}{2\times 130}$$

Korota -540 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±\sqrt{291600-4\times 130\times 560}}{2\times 130}$$

Kerro -4 ja 130.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±\sqrt{291600-520\times 560}}{2\times 130}$$

Kerro -520 ja 560.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±\sqrt{291600-291200}}{2\times 130}$$

Lisää 291600 lukuun -291200.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±\sqrt{400}}{2\times 130}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-540\right)±20}{2\times 130}$$

Luvun -540 vastaluku on 540.

$$x=\frac{540±20}{2\times 130}$$

Kerro 2 ja 130.

$$x=\frac{540±20}{260}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{540±20}{260}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 540 lukuun 20.

$$x=\frac{560}{260}$$

Supista murtoluku \frac{560}{260} luvulla 20.

$$x=\frac{28}{13}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{540±20}{260}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta 540.

$$x=\frac{520}{260}$$

Jaa 520 luvulla 260.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{28}{13} x=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$130x^{2}-540x+560=0$$

Vähennä 560 yhtälön molemmilta puolilta.

$$130x^{2}-540x+560-560=-560$$

Kun luku 560 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$130x^{2}-540x=-560$$

Jaa molemmat puolet luvulla 130.

$$\frac{130x^{2}-540x}{130}=-\frac{560}{130}$$

Jakaminen luvulla 130 kumoaa kertomisen luvulla 130.

$$x^{2}+\left(-\frac{540}{130}\right)x=-\frac{560}{130}$$

Supista murtoluku \frac{-540}{130} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{54}{13}x=-\frac{560}{130}$$

Supista murtoluku \frac{-560}{130} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{54}{13}x=-\frac{56}{13}$$

Jaa -\frac{54}{13} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{27}{13}. Lisää sitten -\frac{27}{13}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{54}{13}x+\left(-\frac{27}{13}\right)^{2}=-\frac{56}{13}+\left(-\frac{27}{13}\right)^{2}$$

Korota -\frac{27}{13} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{54}{13}x+\frac{729}{169}=-\frac{56}{13}+\frac{729}{169}$$

Lisää -\frac{56}{13} lukuun \frac{729}{169} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{54}{13}x+\frac{729}{169}=\frac{1}{169}$$

Jaa x^{2}-\frac{54}{13}x+\frac{729}{169} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{27}{13}\right)^{2}=\frac{1}{169}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{27}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{169}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{27}{13}=\frac{1}{13} x-\frac{27}{13}=-\frac{1}{13}$$

Lisää \frac{27}{13} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{28}{13} x=2$$