Ratkaise 13x^2-5x+4=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}\approx 0,192307692+0,520298048i$$

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}\approx 0,192307692-0,520298048i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 13, b luvulla -5 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

Kerro -4 ja 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\times 4}}{2\times 13}$$

Kerro -52 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-208}}{2\times 13}$$

Lisää 25 lukuun -208.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-183}}{2\times 13}$$

Ota luvun -183 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Kerro 2 ja 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{183}.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{183} luvusta 5.

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$13x^{2}-5x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$13x^{2}-5x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=-\frac{4}{13}$$

Jakaminen luvulla 13 kumoaa kertomisen luvulla 13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=-\frac{4}{13}$$

Jaa -\frac{5}{13} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{26}. Lisää sitten -\frac{5}{26}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{4}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{26} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{4}{13}+\frac{25}{676}$$

Lisää -\frac{4}{13} lukuun \frac{25}{676} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{183}{676}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{183}{676}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{183}{676}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{183}i}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{183}i}{26}$$

Lisää \frac{5}{26} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$