Ratkaise 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3$$

$$x=10$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x-x^{2}=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 13.

$$a=10 b=3$$

Kirjoita \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right) uudelleen muodossa -x^{2}+13x-30.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Jaa yleinen termi x-10 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-10=0 ja -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x-x^{2}=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 13 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 169 lukuun -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±7}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Jaa -6 luvulla -2.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±7}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Jaa -20 luvulla -2.

$$x=10$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=10$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$13x-x^{2}=30$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Jaa 13 luvulla -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Jaa 30 luvulla -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Jaa -13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{2}. Lisää sitten -\frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Lisää -30 lukuun \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}-13x+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{13}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=3$$