Ratkaise 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 13n^{2}+an+bn-120. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -41.

$$a=-65 b=24$$

Kirjoita \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) uudelleen muodossa 13n^{2}-41n-120.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Jaa 13n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 24.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Jaa yleinen termi n-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-5=0 ja 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 13, b luvulla -41 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Korota -41 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kerro -4 ja 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kerro -52 ja -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Lisää 1681 lukuun 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Ota luvun 7921 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Luvun -41 vastaluku on 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Kerro 2 ja 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{41±89}{26}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 41 lukuun 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Jaa 130 luvulla 26.

$$n=5$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{41±89}{26}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 89 luvusta 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Supista murtoluku \frac{-48}{26} luvulla 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Lisää 120 yhtälön kummallekin puolelle.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Kun luku -120 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Vähennä -120 luvusta 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Jakaminen luvulla 13 kumoaa kertomisen luvulla 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Jaa -\frac{41}{13} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{41}{26}. Lisää sitten -\frac{41}{26}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Korota -\frac{41}{26} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Lisää \frac{120}{13} lukuun \frac{1681}{676} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Jaa n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Lisää \frac{41}{26} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$