Ratkaise 128(1+x)(1+x)=200

$$128(1+x)(1+x)=200$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 1+x ja 1+x, niin saadaan \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+x\right)^{2}=200$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$128\left(1+2x+x^{2}\right)=200$$

Laske lukujen 128 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$128+256x+128x^{2}=200$$

Vähennä 200 molemmilta puolilta.

$$128+256x+128x^{2}-200=0$$

Vähennä 200 luvusta 128 saadaksesi tuloksen -72.

$$-72+256x+128x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$128x^{2}+256x-72=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 128, b luvulla 256 ja c luvulla -72 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-256±\sqrt{256^{2}-4\times 128\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Korota 256 neliöön.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536-4\times 128\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Kerro -4 ja 128.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536-512\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Kerro -512 ja -72.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536+36864}}{2\times 128}$$

Lisää 65536 lukuun 36864.

$$x=\frac{-256±\sqrt{102400}}{2\times 128}$$

Ota luvun 102400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-256±320}{2\times 128}$$

Kerro 2 ja 128.

$$x=\frac{-256±320}{256}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-256±320}{256}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -256 lukuun 320.

$$x=\frac{64}{256}$$

Supista murtoluku \frac{64}{256} luvulla 64.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-256±320}{256}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 320 luvusta -256.

$$x=-\frac{576}{256}$$

Supista murtoluku \frac{-576}{256} luvulla 64.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{9}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 1+x ja 1+x, niin saadaan \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+x\right)^{2}=200$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$128\left(1+2x+x^{2}\right)=200$$

Laske lukujen 128 ja 1+2x+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$128+256x+128x^{2}=200$$

Vähennä 128 molemmilta puolilta.

$$256x+128x^{2}=200-128$$

Vähennä 128 luvusta 200 saadaksesi tuloksen 72.

$$256x+128x^{2}=72$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$128x^{2}+256x=72$$

Jaa molemmat puolet luvulla 128.

$$\frac{128x^{2}+256x}{128}=\frac{72}{128}$$

Jakaminen luvulla 128 kumoaa kertomisen luvulla 128.

$$x^{2}+\frac{256}{128}x=\frac{72}{128}$$

Jaa 256 luvulla 128.

$$x^{2}+2x=\frac{72}{128}$$

Supista murtoluku \frac{72}{128} luvulla 8.

$$x^{2}+2x=\frac{9}{16}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{9}{16}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=\frac{9}{16}+1$$

Lisää \frac{9}{16} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{25}{16}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{5}{4} x+1=-\frac{5}{4}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{9}{4}$$