Ratkaise 125x^2-11x+10=0

$$125 x ^ { 2 } - 11 x + 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}\approx 0,044+0,279399356i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}\approx 0,044-0,279399356i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 125, b luvulla -11 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 125\times 10}}{2\times 125}$$

Kerro -4 ja 125.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-500\times 10}}{2\times 125}$$

Kerro -500 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-5000}}{2\times 125}$$

Lisää 121 lukuun -5000.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-4879}}{2\times 125}$$

Ota luvun -4879 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{2\times 125}$$

Kerro 2 ja 125.

$$x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun i\sqrt{4879}.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{4879}i}{250}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{4879} luvusta 11.

$$x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$125x^{2}-11x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$125x^{2}-11x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$125x^{2}-11x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 125.

$$\frac{125x^{2}-11x}{125}=-\frac{10}{125}$$

Jakaminen luvulla 125 kumoaa kertomisen luvulla 125.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{10}{125}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{125} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x=-\frac{2}{25}$$

Jaa -\frac{11}{125} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{250}. Lisää sitten -\frac{11}{250}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{11}{250}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{250} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{2}{25}+\frac{121}{62500}$$

Lisää -\frac{2}{25} lukuun \frac{121}{62500} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500}=-\frac{4879}{62500}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{125}x+\frac{121}{62500} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}=-\frac{4879}{62500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{250}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4879}{62500}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{250}=\frac{\sqrt{4879}i}{250} x-\frac{11}{250}=-\frac{\sqrt{4879}i}{250}$$

Lisää \frac{11}{250} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{4879}i}{250} x=\frac{-\sqrt{4879}i+11}{250}$$