Ratkaise 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12345, b luvulla 54321 ja c luvulla -99999 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Korota 54321 neliöön.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Kerro -4 ja 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Kerro -49380 ja -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Lisää 2950771041 lukuun 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Ota luvun 7888721661 neliöjuuri.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Kerro 2 ja 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -54321 lukuun 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Jaa -54321+3\sqrt{876524629} luvulla 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{876524629} luvusta -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Jaa -54321-3\sqrt{876524629} luvulla 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Lisää 99999 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Kun luku -99999 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Vähennä -99999 luvusta 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Jakaminen luvulla 12345 kumoaa kertomisen luvulla 12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Supista murtoluku \frac{54321}{12345} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Supista murtoluku \frac{99999}{12345} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Jaa \frac{18107}{4115} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{18107}{8230}. Lisää sitten \frac{18107}{8230}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Korota \frac{18107}{8230} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Lisää \frac{33333}{4115} lukuun \frac{327863449}{67732900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Jaa x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Vähennä \frac{18107}{8230} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$