Ratkaise 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-2300. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 200.

$$a=-30 b=230$$

Kirjoita \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+200x-2300.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Ota 3x tekijäksi ensimmäisessä ja 230 toisessa ryhmässä.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-10 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-10=0 ja 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 120, b luvulla 8000 ja c luvulla -92000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Korota 8000 neliöön.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Kerro -4 ja 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Kerro -480 ja -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Lisää 64000000 lukuun 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Ota luvun 108160000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Kerro 2 ja 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8000±10400}{240}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8000 lukuun 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Jaa 2400 luvulla 240.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8000±10400}{240}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10400 luvusta -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Supista murtoluku \frac{-18400}{240} luvulla 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Lisää 92000 yhtälön kummallekin puolelle.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Kun luku -92000 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Vähennä -92000 luvusta 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Jakaminen luvulla 120 kumoaa kertomisen luvulla 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Supista murtoluku \frac{8000}{120} luvulla 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Supista murtoluku \frac{92000}{120} luvulla 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Jaa \frac{200}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{100}{3}. Lisää sitten \frac{100}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{100}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Lisää \frac{2300}{3} lukuun \frac{10000}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Vähennä \frac{100}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$