Ratkaise 12x^2-30x-108rightarrow

$$12 x ^ { 2 } - 30 x - 108 \rightarrow$$

Jaa tekijöihin

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 6:n suhteen.

$$6\left(2x^{2}-5x-18\right)$$

Tarkastele lauseketta 2x^{2}-5x-18. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 2x^{2}+ax+bx-18. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-9 b=4$$

Kirjoita \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right) uudelleen muodossa 2x^{2}-5x-18.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$12x^{2}-30x-108=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Korota -30 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 12\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-48\left(-108\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+5184}}{2\times 12}$$

Lisää 900 lukuun 5184.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{6084}}{2\times 12}$$

Ota luvun 6084 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±78}{2\times 12}$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$x=\frac{30±78}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{30±78}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±78}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 30 lukuun 78.

$$x=\frac{108}{24}$$

Supista murtoluku \frac{108}{24} luvulla 12.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{30±78}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 78 luvusta 30.

$$x=-\frac{48}{24}$$

Jaa -48 luvulla 24.

$$x=-2$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{9}{2} kohteella x_{1} ja -2 kohteella x_{2}.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$12x^{2}-30x-108=12\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+2\right)$$

Vähennä \frac{9}{2} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12x^{2}-30x-108=12\times \frac{2x-9}{2}\left(x+2\right)$$

Supista lausekkeiden 12 ja 2 suurin yhteinen tekijä 2.

$$12x^{2}-30x-108=6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Laske

$$6\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$