Ratkaise 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -2 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Lisää 4 lukuun -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Ota luvun -236 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Jaa 2+2i\sqrt{59} luvulla 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{59} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Jaa 2-2i\sqrt{59} luvulla 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{12} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Jaa -\frac{1}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{12}. Lisää sitten -\frac{1}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Lisää -\frac{5}{12} lukuun \frac{1}{144} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Lisää \frac{1}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$