Ratkaise 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -12 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Lisää 144 lukuun 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Ota luvun 432 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Jaa 12+12\sqrt{3} luvulla 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{3} luvusta 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Jaa 12-12\sqrt{3} luvulla 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Jaa -12 luvulla 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Supista murtoluku \frac{6}{12} luvulla 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$