Ratkaise 12x^2+68x+38=0

$$12 x ^ { 2 } + 68 x + 38 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{5\sqrt{7}-17}{6}\approx -0,628540574$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}-17}{6}\approx -5,038126093$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}+68x+38=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla 68 ja c luvulla 38 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-68±\sqrt{68^{2}-4\times 12\times 38}}{2\times 12}$$

Korota 68 neliöön.

$$x=\frac{-68±\sqrt{4624-4\times 12\times 38}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-68±\sqrt{4624-48\times 38}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 38.

$$x=\frac{-68±\sqrt{4624-1824}}{2\times 12}$$

Lisää 4624 lukuun -1824.

$$x=\frac{-68±\sqrt{2800}}{2\times 12}$$

Ota luvun 2800 neliöjuuri.

$$x=\frac{-68±20\sqrt{7}}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-68±20\sqrt{7}}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-68±20\sqrt{7}}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -68 lukuun 20\sqrt{7}.

$$x=\frac{20\sqrt{7}-68}{24}$$

Jaa -68+20\sqrt{7} luvulla 24.

$$x=\frac{5\sqrt{7}-17}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-68±20\sqrt{7}}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{7} luvusta -68.

$$x=\frac{-20\sqrt{7}-68}{24}$$

Jaa -68-20\sqrt{7} luvulla 24.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}-17}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{7}-17}{6} x=\frac{-5\sqrt{7}-17}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+68x+38=0$$

Vähennä 38 yhtälön molemmilta puolilta.

$$12x^{2}+68x+38-38=-38$$

Kun luku 38 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}+68x=-38$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}+68x}{12}=-\frac{38}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{68}{12}x=-\frac{38}{12}$$

Supista murtoluku \frac{68}{12} luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{38}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-38}{12} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{19}{6}$$

Jaa \frac{17}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{17}{6}. Lisää sitten \frac{17}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{19}{6}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{17}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{19}{6}+\frac{289}{36}$$

Lisää -\frac{19}{6} lukuun \frac{289}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{175}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{175}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{5\sqrt{7}}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{5\sqrt{7}}{6}$$

Vähennä \frac{17}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5\sqrt{7}-17}{6} x=\frac{-5\sqrt{7}-17}{6}$$