Ratkaise 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 12x^{2}+ax+bx-7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 17.

$$a=-4 b=21$$

Kirjoita \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right) uudelleen muodossa 12x^{2}+17x-7.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-1=0 ja 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla 17 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Korota 17 neliöön.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Lisää 289 lukuun 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ota luvun 625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±25}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -17 lukuun 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Supista murtoluku \frac{8}{24} luvulla 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±25}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 25 luvusta -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{24} luvulla 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Jaa \frac{17}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{17}{24}. Lisää sitten \frac{17}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Korota \frac{17}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Lisää \frac{7}{12} lukuun \frac{289}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Jaa x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Vähennä \frac{17}{24} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$