Ratkaise 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Jaa tekijöihin

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 12t^{2}+at+bt-10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-15 b=8$$

Kirjoita \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right) uudelleen muodossa 12t^{2}-7t-10.

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Jaa 3t toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Jaa yleinen termi 4t-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Korota -7 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Lisää 49 lukuun 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Ota luvun 529 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±23}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Supista murtoluku \frac{30}{24} luvulla 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±23}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 23 luvusta 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{24} luvulla 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{4} kohteella x_{1} ja -\frac{2}{3} kohteella x_{2}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Vähennä \frac{5}{4} luvusta t selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Lisää \frac{2}{3} lukuun t selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Kerro \frac{4t-5}{4} ja \frac{3t+2}{3} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Kerro 4 ja 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Supista lausekkeiden 12 ja 12 suurin yhteinen tekijä 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Laske

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$