Ratkaise 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 12r^{2}+ar+br-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -11.

$$a=-20 b=9$$

Kirjoita \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) uudelleen muodossa 12r^{2}-11r-15.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Jaa 4r toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Jaa yleinen termi 3r-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3r-5=0 ja 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -11 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Korota -11 neliöön.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Lisää 121 lukuun 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Ota luvun 841 neliöjuuri.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{11±29}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Supista murtoluku \frac{40}{24} luvulla 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{11±29}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 29 luvusta 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{24} luvulla 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Supista murtoluku \frac{15}{12} luvulla 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Jaa -\frac{11}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{24}. Lisää sitten -\frac{11}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{121}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Jaa r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Sievennä.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Lisää \frac{11}{24} yhtälön kummallekin puolelle.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$