Ratkaise 12m^2-5m-2=0

$$12 m ^ { 2 } - 5 m - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan m suhteen

$$m=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$m=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 12m^{2}+am+bm-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-8 b=3$$

Kirjoita \left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right) uudelleen muodossa 12m^{2}-5m-2.

$$\left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right)$$

Ota 4m tekijäksi lausekkeessa 12m^{2}-8m.

$$4m\left(3m-2\right)+3m-2$$

Jaa yleinen termi 3m-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3m-2\right)\left(4m+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3m-2=0 ja 4m+1=0.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -5 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Korota -5 neliöön.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -2.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Lisää 25 lukuun 96.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$m=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$m=\frac{5±11}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{5±11}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 11.

$$m=\frac{16}{24}$$

Supista murtoluku \frac{16}{24} luvulla 8.

$$m=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{5±11}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 5.

$$m=-\frac{6}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{24} luvulla 6.

$$m=-\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12m^{2}-5m-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12m^{2}-5m=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$12m^{2}-5m=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12m^{2}-5m}{12}=\frac{2}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{2}{12}$$

Supista murtoluku \frac{2}{12} luvulla 2.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{1}{6}$$

Jaa -\frac{5}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{24}. Lisää sitten -\frac{5}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{1}{6}+\frac{25}{576}$$

Lisää \frac{1}{6} lukuun \frac{25}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{121}{576}$$

Jaa m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{121}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{576}}$$

Sievennä.

$$m-\frac{5}{24}=\frac{11}{24} m-\frac{5}{24}=-\frac{11}{24}$$

Lisää \frac{5}{24} yhtälön kummallekin puolelle.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$