Ratkaise 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=6$$

$$n=15$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Laske lukujen 12 ja n-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Vähennä 30 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Vähennä n^{2} molemmilta puolilta.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lisää 9n molemmille puolille.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Selvitä 21n yhdistämällä 12n ja 9n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Vähennä 12 luvusta -78 saadaksesi tuloksen -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -n^{2}+an+bn-90. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 21.

$$a=15 b=6$$

Kirjoita \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right) uudelleen muodossa -n^{2}+21n-90.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Ota -n tekijäksi ensimmäisessä ja 6 toisessa ryhmässä.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi n-15 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt n-15=0 ja -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 12 ja n-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Vähennä 30 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Vähennä n^{2} molemmilta puolilta.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lisää 9n molemmille puolille.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Selvitä 21n yhdistämällä 12n ja 9n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Vähennä 12 luvusta -78 saadaksesi tuloksen -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 21 ja c luvulla -90 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 21 neliöön.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 441 lukuun -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-21±9}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -21 lukuun 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Jaa -12 luvulla -2.

$$n=6$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-21±9}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Jaa -30 luvulla -2.

$$n=15$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=6 n=15$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 12 ja n-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Vähennä 30 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Vähennä n^{2} molemmilta puolilta.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lisää 9n molemmille puolille.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Selvitä 21n yhdistämällä 12n ja 9n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Lisää 78 molemmille puolille.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Selvitä 90 laskemalla yhteen 12 ja 78.

$$21n-n^{2}=90$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Jaa 21 luvulla -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Jaa 90 luvulla -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Jaa -21 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{2}. Lisää sitten -\frac{21}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Lisää -90 lukuun \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Jaa n^{2}-21n+\frac{441}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Lisää \frac{21}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=15 n=6$$