Ratkaise 12x^2-88x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3,666666667+4,459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3,666666667-4,459696053i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -88 ja c luvulla 400 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Korota -88 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 400.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

Lisää 7744 lukuun -19200.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

Ota luvun -11456 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Luvun -88 vastaluku on 88.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 88 lukuun 8i\sqrt{179}.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

Jaa 88+8i\sqrt{179} luvulla 24.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{179} luvusta 88.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

Jaa 88-8i\sqrt{179} luvulla 24.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Vähennä 400 yhtälön molemmilta puolilta.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

Kun luku 400 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}-88x=-400$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-88}{12} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-400}{12} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Jaa -\frac{22}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{3}. Lisää sitten -\frac{11}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

Lisää -\frac{100}{3} lukuun \frac{121}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

Lisää \frac{11}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$