Ratkaise 12x^2-160x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla -160 ja c luvulla 400 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Korota -160 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Lisää 25600 lukuun -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Ota luvun 6400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

Luvun -160 vastaluku on 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{160±80}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 160 lukuun 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

Jaa 240 luvulla 24.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{160±80}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 80 luvusta 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

Supista murtoluku \frac{80}{24} luvulla 8.

$$x=\frac{10}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Vähennä 400 yhtälön molemmilta puolilta.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Kun luku 400 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-160}{12} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-400}{12} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Jaa -\frac{40}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{20}{3}. Lisää sitten -\frac{20}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{20}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

Lisää -\frac{100}{3} lukuun \frac{400}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Lisää \frac{20}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$