Ratkaise 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1,157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3,2405458$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla 25 ja c luvulla -45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Korota 25 neliöön.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Lisää 625 lukuun 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -25 lukuun \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{2785} luvusta -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Lisää 45 yhtälön kummallekin puolelle.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Kun luku -45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Vähennä -45 luvusta 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Supista murtoluku \frac{45}{12} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Jaa \frac{25}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{25}{24}. Lisää sitten \frac{25}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Korota \frac{25}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Lisää \frac{15}{4} lukuun \frac{625}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Jaa x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Vähennä \frac{25}{24} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$