Ratkaise 12x^2+23x+10

$$12 { x }^{ 2 } +23x+10$$

Jaa tekijöihin

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 12x^{2}+ax+bx+10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 23.

$$a=8 b=15$$

Kirjoita \left(12x^{2}+8x\right)+\left(15x+10\right) uudelleen muodossa 12x^{2}+23x+10.

$$\left(12x^{2}+8x\right)+\left(15x+10\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$4x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$12x^{2}+23x+10=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Korota 23 neliöön.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 10.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Lisää 529 lukuun -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-23±7}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±7}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -23 lukuun 7.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{24} luvulla 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±7}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -23.

$$x=-\frac{30}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{24} luvulla 6.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{2}{3} kohteella x_{1} ja -\frac{5}{4} kohteella x_{2}.

$$12x^{2}+23x+10=12\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$12x^{2}+23x+10=12\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Lisää \frac{2}{3} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{3x+2}{3}\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{3x+2}{3}\times \frac{4x+5}{4}$$

Kerro \frac{3x+2}{3} ja \frac{4x+5}{4} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)}{3\times 4}$$

Kerro 3 ja 4.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)}{12}$$

Supista lausekkeiden 12 ja 12 suurin yhteinen tekijä 12.

$$12x^{2}+23x+10=\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Laske

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$