Ratkaise 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 12x^{2}+ax+bx+3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 13.

$$a=4 b=9$$

Kirjoita \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right) uudelleen muodossa 12x^{2}+13x+3.

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+1=0 ja 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla 13 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Lisää 169 lukuun -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±5}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{24} luvulla 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±5}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{24} luvulla 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Supista murtoluku \frac{-3}{12} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa \frac{13}{12} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{13}{24}. Lisää sitten \frac{13}{24}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Korota \frac{13}{24} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{169}{576} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Jaa x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Vähennä \frac{13}{24} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$