Ratkaise 112=6x-1/2*75x^2

$$112 = 6 x - \frac { 1 } { 2 } \times 75 x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}\approx 0,08+1,726344886i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}\approx 0,08-1,726344886i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro \frac{1}{2} ja 75, niin saadaan \frac{75}{2}.

$$112=6x-\frac{75}{2}x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}-112=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{75}{2}x^{2}+6x-112=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{75}{2}, b luvulla 6 ja c luvulla -112 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{75}{2}\right)\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{75}{2}\right)\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+150\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Kerro 150 ja -112.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16800}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Lisää 36 lukuun -16800.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-16764}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Ota luvun -16764 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{4191}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{4191}i}{-75}$$

Jaa -6+2i\sqrt{4191} luvulla -75.

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{4191} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{4191}i-6}{-75}$$

Jaa -6-2i\sqrt{4191} luvulla -75.

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25} x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro \frac{1}{2} ja 75, niin saadaan \frac{75}{2}.

$$112=6x-\frac{75}{2}x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}=112$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{75}{2}x^{2}+6x=112$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{75}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{75}{2}x^{2}+6x}{-\frac{75}{2}}=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{75}{2} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{75}{2}.

$$x^{2}+\frac{6}{-\frac{75}{2}}x=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Jaa 6 luvulla -\frac{75}{2} kertomalla 6 luvun -\frac{75}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Jaa 112 luvulla -\frac{75}{2} kertomalla 112 luvun -\frac{75}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x=-\frac{224}{75}$$

Jaa -\frac{4}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{25}. Lisää sitten -\frac{2}{25}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\left(-\frac{2}{25}\right)^{2}=-\frac{224}{75}+\left(-\frac{2}{25}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{25} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625}=-\frac{224}{75}+\frac{4}{625}$$

Lisää -\frac{224}{75} lukuun \frac{4}{625} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625}=-\frac{5588}{1875}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{25}\right)^{2}=-\frac{5588}{1875}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5588}{1875}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{25}=\frac{2\sqrt{4191}i}{75} x-\frac{2}{25}=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}$$

Lisää \frac{2}{25} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25} x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$